Nato a Roma il 27 agosto 1896 da famiglia signorile oriunda della provincia di Perugia, suo padre, Grande Ufficiale della Corona d'Italia, avvocato Goffredo, fu Direttore Generale del Ministero della Guerra e ricoprì importanti cariche pubbliche.
La madre, Emma, di antica famiglia romana discendente dai baroni Coletti, era figlia di Salvatore Lisi. Enrico seguì gli studi classici nell'Istituto Massimo e, giovanissimo, conseguì la licenza liceale. Durante il servizio alle armi fu ufficiale del Genio Militare, passando poi in quello aeronautico quale Osservatore dell'aereoplano. Fu istruttore di elettrotecnica e d'impianti radiotelegrafici per ufficiali. In seguito prese il grado di Capitano. Appena laureato si occupò di costruzioni meccaniche ed elettrotecniche, dirigendo importanti officine in Roma.
Dal 1921 si dedicò particolarmente all'architettura e alle costruzioni edilizie campo nel quale fu autore di opere notevoli per dimensioni e pregi artistici. Il 3 gennaio 1923 si unì in nozze con Ida Filippucci dalla quale ebbe la sua unica figlia Maria Luisa.
Mons. Borgongini Duca, Segretario degli Affari Ecclesiastici Straordinari, gli affidò l'incarico di assisterlo nei rapporti col Cavaliere supremo, Mr. Edward Hearn e di realizzare l'Oratorio di San Pietro, fondato e costruito a spese dei Cavalieri di Colombo fra gli anni 1924-1927. Con la nomina del Cardinale Pacelli a Segretario di Stato (1929) e quindi con la sua elezione a Papa (1939) si schiuse per il Galeazzi un vasto e vario campo di attività che rivelò tanti aspetti del suo versatile ingegno.
A completamento della Carta statutaria, Pio XII nominava il Galeazzi suo Delegato Speciale (3 aprile 1939) conferendogli inoltre il titolo di Architetto dei Sacri Palazzi Apostolici e le cariche di Direttore Generale dei Servizi tecnici e di quelli economici (8 aprile 1939). Di alta, elegante figura, fornito di varia e vasta cultura, buon poliglotta, ricco d'interessi e di piacevole arguzia, assolveva i suoi compiti con ammirazione degli interlocutori d'ogni livello.
Nel corso del suo lungo pontificato, Pio XII lo volle come costante collaboratore nelle più diverse questioni, ricevendolo quotidianamente in udienza. Dotato di fine senso politico ed essendo buon diplomatico, nell'assolvimento degli incarichi pontifici faceva prevalere solo il pensiero del Papa, che interpretava con ferma coerenza e stile elevato. La durata del suo servizio per l'intero arco di quel pontificato ne costituisce il maggiore elogio. Ben noto infatti che Pio XII non era alieno dal revocare la propria fiducia anche a chi l’avesse lungamente goduta.
Al fine di stabilire un collegamento tra il Delegato Apostolico e alcuni significativi rappresentanti dell'Episcopato americano, i quali dovevano intercedere presso il Presidente Roosevelt durante la II Guerra mondiale per ottenere l'assistenza e la difesa di Roma, Pio XII incaricò come Delegato Speciale Enrico Pietro Galeazzi. Pio XII aveva grande padronanza delle arti diplomatiche e questo lo induceva talvolta a non esporre in modo netto il suo pensiero al Delegato Apostolico, il Galeazzi invece per i suoi rapporti quotidiani con il Pontefice meglio ne conosceva i propositi. Dopo la morte di Pio XII, il suo successore, Paolo VI gli inviò in dono l'orologio da tavolo che era appartenuto al Pontefice e, due giorni dopo, lo stesso Papa gli conferiva la Gran Croce dell'Ordine Piano, cui sono connessi titolo e rango di Eccellenza.
In riconoscimento dei grandi, pacifici e umanitari servigi resi alla patria durante la II Guerra mondiale, il Luogotenente Generale del Regno — S.A.R. il Principe di Piemonte, più tardi Re Umberto II — con motuproprio del 23 novembre 1945, gli concesse il titolo di Conte con stemma partito. Il titolo nobiliare conferitogli apparve a tutti adeguato alla nobilità del suo spirito, premio di una vita dedita a grandi ideali ed elevate realizzazioni nonché ad opere di carità e al soccorso per tanta parte di umanità sofferente: in lui vibravano con la stessa intensità ingegno e cuore, in opere d'arte come in opere di bene. La generale soddisfazione all'interno e fuori del Vaticano per l'irradiazione delle sue doti è attestata dalle più elevate nomine e onorificenze di cui era insignito, fra cui quella a Cameriere Segreto Soprannumerario di Spada e Cappa, Architetto della Reverenda Fabbrica di San Pietro (1932), Cavaliere di Gran Croce Magistrale dell'Ordine di Malta (marzo 1943), Virtuoso d'Onore (1 luglio 1939), Virtuoso di merito residente nella classe degli Architetti (30 maggio 1943).
Fra le opere da lui progettate e realizzate per incarico si ricordano la Basilica di S. Eugenio e il Collegio nordamericano del Gianicolo, ottenendo la concessione della sua sepoltura in quella chiesa. A tale organismo va collegato il fondo Enrico Pietro Galeazzi, istituito dai Cavalieri di Colombo.
Ritiratosi spontaneamente dalle più impegnative cariche vaticane nel marzo 1968, continuò ad attendere alle sue mansioni di Rappresentante dell'Ordine dei Cavalieri di Colombo in Roma. Col compimento del suo 90° anno fu condotto a termine il restauro della facciata di San Pietro. Quel lavoro, voluto dal Cavaliere Supremo, Mr. Virgil C. Dechant, fu ultimato nel 1986 e suggella insieme il servizio prestato dal Galeazzi ai Papi nell'arco da Pio XII a Giovanni Paolo II e la lunga intensa sua collaborazione con i Cavalieri di Colombo. Dopo l'ultima giornata laboriosa, nelle prime ore del 25 settembre 1986 la morte trasformò in eterno il sonno in cui l'aveva raggiunto.